Question

10．证明函数f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在区间（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 求导数，证明f′（x）=1+$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥0，即可证明结论．

解答 解：∵f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=1+$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
∵$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥|x|，
∴f′（x）=1+$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥0，
∴函数f（x）=x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$在区间（-∞，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，属于中档题．