Question

5．已知函数y=f（x）是定义在R上函数，且对任意x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当x≥2时，f（x）=2^x，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先判断f（4-x）=f（x）．再设x＜2，则-x＞-2，4-x＞2，利用条件，即可得出结论．

解答 解：∵对任意x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（4-x）=f（x）．
设x＜2，则-x＞-2，4-x＞2，
∵当x≥2时，f（x）=2^x，
∴f（4-x）=2^4-x，
∴f（x）=2^4-x，（x＜2）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥2}\\{{2}^{4-x}，x＜2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求函数f（x）的解析式，考查函数的对称性，判断f（4-x）=f（x）是关键．