Question

设

a

=(x2+6x，5x)，

b

=(

x

3

，1-x)，x∈[0，9]
（1）求f（x）=

a

•

b

的表达式
（2）求f（x） 的单调区间
（3）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由

a

=(x2+6x，5x)，

b

=(

x

3

，1-x)，x∈[0，9]，知

a

•

b

=

1

3

x3-3x2+5x，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=

1

3

x3-3x2+5x，x∈[0，9]，知f′（x）=x²-6x+5，由此能求出f（x）的单调区间．
（3）由f（0）=0，f（1）=

7

3

，f（5）=-

25

3

，f（9）=45，能求出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵

a

=(x2+6x，5x)，

b

=(

x

3

，1-x)，x∈[0，9]，
∴

a

•

b

=（x²+6x，5x）•(

1

3

x，1-x)=

1

3

x3-3x2+5x，
∴f（x）=

1

3

x3-3x2+5x，x∈[0，9]．
（2）∵f（x）=

1

3

x3-3x2+5x，x∈[0，9]，
∴f′（x）=x²-6x+5，
令f′（x）=0，得x=1，或x=5，
由f′（x）=x²-6x+5＞0，得x＞5，或x＜1．
由f′（x）=x²-6x+5＜0，得1＜x＜5．
∴f（x）在[0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减，在（5，9]上单调递增．
（3）∵f（0）=0，f（1）=

7

3

，f（5）=-

25

3

，f（9）=45，
∴f（x）的最大值是45，最小值是-

25

3

．

点评：本题考查f（x）=

a

•

b

的表达式的求法，求f（x） 的单调区间，求f（x）的最大值和最小值．解题时要认真审题，注意利用导数求闭区间上函数的最值的应用．