Question

设

a

=(x2+6x，5x)，

b

=(

x

3

，1-x)，x∈[0，9]，若f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x） 的单调区间
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由

a

=(x2+6x，5x)，

b

=(

x

3

，1-x)，x∈[0，9]，f（x）=

a

•

b

，能求出f（x）=

1

3

x3-3x2+5x，x∈[0，9]．由此能求出f（x） 的单调区间．
（2）令f′（x）=x²-6x+5=0，得x₁=1，x₂=5，由（1）知f（x） 的单调增区间为[0，1），（5，9]，单调减区间为（1，5），由f（0）=0，f（1）=

7

3

，f（5）=-

25

3

，f（9）=45，能求出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵

a

=(x2+6x，5x)，

b

=(

x

3

，1-x)，x∈[0，9]，
∴f（x）=

a

•

b

=（x²+6x，5x）•（

x

3

，1-x）=

1

3

x3-3x2+5x，x∈[0，9]．
∴f′（x）=x²-6x+5，x∈[0，9]．
令f′（x）=x²-6x+5＞0，得0≤x＜1，或5＜x≤9．
令f′（x）=x²-6x+5＜0，得1＜x＜5，
∴f（x） 的单调增区间为[0，1），（5，9]，单调减区间为（1，5）．
（2）令f′（x）=x²-6x+5=0，
得x₁=1，x₂=5，
由（1）知f（x） 的单调增区间为[0，1），（5，9]，单调减区间为（1，5），
∵f（0）=0，f（1）=

7

3

，f（5）=-

25

3

，f（9）=45，
∴f（x）的最大值是45，最小值是-

25

3

．

点评：本题以函数为载体，考查学生会求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是正确理解极值的含义．