【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率为
,M为椭圆上任意一点,当∠F1MF2=90°时,△F1MF2的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF1,AF2分别与椭圆交于点B,D,设直线BD的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意可求得,则
,椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,
当直线的斜率不存在或直线
的斜率不存在时,
.
当直线、
的斜率存在时,
,设直线
的方程为
,联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理计算可得直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,则
.综上可得:直线
与
的斜率之积为定值
.
(Ⅰ)设由题
,
解得,则
,
椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,当直线
的斜率不存在时,
设,则
,直线
的方程为
代入
,
可得
,
,则
,
直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
,
当直线的斜率不存在时,同理可得
.
当直线、
的斜率存在时,
设直线
的方程为
,
则由消去
可得:
,
又,则
,代入上述方程可得:
,
,
则
,
设直线的方程为
,同理可得
,
直线
的斜率为
直线
的斜率为
,
.
所以,直线与
的斜率之积为定值
,即
.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意利用导函数研究函数的切线方程,得到关于a,b的方程组,求解方程组并检验可得,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,则
在(-1,0)处的切线方程为
,构造函数
,结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.
(Ⅰ)由题意,所以
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,
故,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
,
设在(-1,0)处的切线方程为
,易得,
,
令即
,
,
当时,
,
当时,设
,
,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
故.
,设
的根为
,则
又函数
单调递减,
故,故
,
设在(0,0)处的切线方程为
,
易得令
,
,
当时,
,
当时,
故函数在
上单调递增,又
,
所以当时,
,当
时,
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
,
设的根为
,则
又函数
单调递增,
故,故
,
又,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若向量 =
,
=(sinωx,0),其中ω>0,记函数f(x)=(
+
)
﹣
.若函数f(x)的图象与直线y=m(m为常数)相切,并且切点的横坐标依次成公差是π的等差数列.
(Ⅰ)求f(x)的表达式及m的值;
(Ⅱ)将f(x)的图象向左平移 个单位,再将得到的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)后得到y=g(x)的图象,求y=g(x)在
上的值域.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒子内.
(1)共有几种放法?
(2)恰有1个空盒,有几种放法?
(3)恰有2个盒子不放球,有几种放法?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在空间四边形ABCD(A,B,C,D不共面)中,一个平面与边AB,BC,CD,DA分别交于E,F,G,H(不含端点),则下列结论错误的是( )
A.若AE:BE=CF:BF,则AC∥平面EFGH
B.若E,F,G,H分别为各边中点,则四边形EFGH为平行四边形
C.若E,F,G,H分别为各边中点且AC=BD,则四边形EFGH为矩形
D.若E,F,G,H分别为各边中点且AC⊥BD,则四边形EFGH为矩形
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在R上的单调函数f(x)满足对任意的x1 , x2 , 都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立.若正实数a,b满足f(a)+f(2b﹣1)=0,则 的最小值为 .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,若直线
与曲线
相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点
,
与原点
构成
,且满足
,求面积
的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为
,
,消去参数可知曲线
是圆心为
,半径为
的圆,由直线
与曲线
相切,可得:
;则曲线C的方程为
, 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得
可得曲线C的极坐标方程.
(2)由(1)不妨设M(),
,(
),
,
,
由此可求面积的最大值.
试题解析:(1)由题意可知直线的直角坐标方程为
,
曲线是圆心为
,半径为
的圆,直线
与曲线
相切,可得:
;可知曲线C的方程为
,
所以曲线C的极坐标方程为,
即.
(2)由(1)不妨设M(),
,(
),
,
,
当 时,
,
所以△MON面积的最大值为.
【题型】解答题
【结束】
23
【题目】已知函数的定义域为
;
(1)求实数的取值范围;
(2)设实数为
的最大值,若实数
,
,
满足
,求
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-
cos 2x.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数的定义域为D,若存在闭区间
,使得函数
满足:①
在
内是单调函数;②
在
上的值域为
,则称区间
为
的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有_______
① ②
③
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com