Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3ax． （Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，求实数a；
（Ⅱ）若a=1，求函数f（x）在区间[0，3]的最值及所对应的x的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣3ax∴f′（x）=3x2﹣3a
因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，
∴f′（1）=3﹣3a=2，
∴a=
（Ⅱ）由a=1，得：函数f（x）=x3﹣3x
则：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）
令f′（x）=0，则x=1或x=﹣1

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	0	单调递减	极小值﹣2	单调递增	18

故：当x=1时，f（x）min=f（1）=﹣2；
当x=3时，f（x）max=f（3）=18
【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用在x=1处的切线斜率为2，列出方程即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，求出函数的导数，判断函数的单调性以及函数的极值，然后求解函数的最值以及x的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．