Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 设以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，则$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，代入化简即可得出．当经过点P的直线的斜率不存在时不满足题意．

解答 解：设以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
∴$\frac{-4}{8}+\frac{2k}{4}=0$，
解得k=1．
∴以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=x+2，即为x-y+3=0．
当经过点P的直线的斜率不存在时不满足题意．
综上可得：以点P（-2，1）为中点的弦所在的直线方程为x-y+3=0．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．