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    【题目】某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.

    (Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；

    (Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为，求的分布列和数学期望.

    【答案】(1)；(2)答案见解析.

    【解析】

    (1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀，利用排列组合公式和对立事件公式求解概率值即可；

    (2)X的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算相应的概率值可得的分布列，然后由期望公式计算数学期望即可.

    (1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀。

    记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件A.

    则.

    (2)X的所有可能取值为0，1，2，3.

    ，

    ，

    ，

    ，

    故随机变量X的分布列为

    0

    1

    2

    3

    X的数学期望.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：

    普查对象类别

    顺利

    不顺利

    合计

    企事业单位

    40

    10

    50

    个体经营户

    100

    50

    150

    合计

    140

    60

    200

    （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；

    （2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；

    （3）以频率作为概率， 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为， 写出的分布列，并求的期望值．

    附：

    0.10

    0.010

    0.001

    2.706

    6.635

    10.88

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在四棱柱中，，且，平面，.

    （1）证明：.

    （2）求与平面所成角的正弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,,,是中点,为的中点,点在侧棱上(不包括端点).

    (1)求证：

    (2)是否存在点,使与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：

    加盟店个数（个）

    1

    2

    3

    4

    5

    单店日平均营业额（万元）

    10.9

    10.2

    9

    7.8

    7.1

    （1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；

    （2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；

    （3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.

    （参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在直三棱柱中，，，为线段上一点，平面.

    （1）求证：为中点；

    （2）若与所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，函数.

    （1）当时，若对任意恒成立，求的取值范围；

    （2）若函数有两个不同的零点和，求的取值范围，并证明：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知，是异面直线，是，外的一点，则下列结论中正确的是（ ）

    A.过有且只有一条直线与，都垂直B.过有且只有一条直线与，都平行

    C.过有且只有一个平面与，都垂直D.过有且只有一个平面与，都平行

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