Question

【题目】 （a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2 ， 离心率为 ，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记 ，若在线段MN上取一点R，使得 ，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）∵△AF1F2的周长为 ， ∴2a+2c= ，即 ．
又 ，解得a=2， ，b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，
设其方程为y=k（x+4），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．
由
得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣4=0．
由题意△=（32k2）2﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）＞0，即12k2﹣1＜0．
则 ， ．
由 ，得（﹣4﹣x1 ， ﹣y1）=（x2+4，y2），
∴﹣4﹣x1=λ（x2+4），∴ ．
设点R的坐标为（x0 ， y0），由 ，
得（x0﹣x1 ， y0﹣y1）=﹣λ（x2﹣x0 ， y2﹣y0），
∴x0﹣x1=﹣λ（x2﹣x0），
解得 = = ，
而2x1x2+4（x1+x2）= =﹣ ，
，
∴ ，
故点R在定直线x=﹣1上．
【解析】（Ⅰ）利用椭圆的定义、 及b2=a2﹣c2即可解出；（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，设其方程为y=k（x+4），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量 ， ，即可得出坐标之间的关系，消去λ及k即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．