Question

13．若函数f（x）$≡\sqrt{3}$sinωx+cosωx的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后所得的图象既关于y轴对称也关于点（$\frac{5π}{16}$，0）对称，则ω的值可以是（　　）

• A． 2
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，可得ω=-3k-1，k∈Z，且ω=8-48k₁，k₁∈Z，从而得出结论．

解答 解：∵把函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后所的图象对应的函数解析式为y=2sin[ω（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{3}$），
∵根据所得的函数为偶函数，即所得图象关于y轴对称，可得$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴求得ω=-3k-1，k∈Z，①
∵所得的函数也关于点（$\frac{5π}{16}$，0）对称，
∴$\frac{5π}{16}$ω+$\frac{π}{6}$-$\frac{ωπ}{3}$=k₁π，k₁∈Z，解得：ω=8-48k₁，k₁∈Z，②
由①②结合各个选项可得当k=-3，k₁=0时，可得ω的值为8．
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．