Question

3．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+a_n=-n（n∈N^*）恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}ln（{a_n}+1），\;n为奇数\\{a_n}\;\;\;\;\;\;\;\;，n为偶数\end{array}$，求{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）对n分为奇数与偶数，对数列分组求和，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n+a_n=-n可得：
n=1时，S₁+a₁=-1，∴a₁=-$\frac{1}{2}$．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，S_n+a_n=-n，
∴S_n-1+a_n-1=-（n-1），
∴S_n+a_n-（S_n-1+a_n-1）=-1，
∴2a_n=a_n-1-1，
∴2（a_n+1）=a_n-1+1．
a₁+1=$\frac{1}{2}$，
∴{a_n+1}是以$\frac{1}{2}$为首项，公比$q=\frac{1}{2}$的等比数列．
∴${a_n}+1=（{a_1}+1）{q^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2^n}-1$．
（2）${b_n}=\left\{\begin{array}{l}-nln2\;，\;\;n为奇数\\ \frac{1}{2^n}-1\;\;，n为偶数\end{array}\right.$，
$\begin{array}{l}T=-ln2•[1+3+…+（2n-1）]+（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{{{2^{2n}}}}）-n\\ \;\;=-ln2•{n^2}+\frac{1}{3}[1-{（\frac{1}{4}）^n}]-n\end{array}$

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．