Question

13．设函数$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}（x∈R）$，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$的值域为{0，1}．

Answer 1

分析 化简$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$]，从而分类讨论以确定函数的值，从而解得．

解答 解：$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$
=[$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]+[$\frac{{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$+$\frac{1}{2}$]
=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$]，
∵0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
①当0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$时，
0＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$＜1，
故y=0；
②当$\frac{1}{1+{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$时，
$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$=0，$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$=1，
故y=1；
③$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1时，
-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜0，1＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
故y=-1+1=0；
故函数$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．