Question

18．（1）若（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），求实数x的值；
（2）已知z的共轭复数为$\overline z$，且${（{z+\overline z}）^2}$$-3z\overline z•i=4-12i$（i为虚数单位），求复数z．

Answer 1

分析 （1）由于（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1=0}\\{{x}^{2}+3x+2≠0}\end{array}\right.$，解得x．
（2）设z=a+bi（a，b∈R），则$\overline{z}$=a-bi．根据${（{z+\overline z}）^2}$$-3z\overline z•i=4-12i$（i为虚数单位），可得4a²-3（a²+b²）i=4-12i．利用复数相等即可得出．

解答 解：（1）∵（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1=0}\\{{x}^{2}+3x+2≠0}\end{array}\right.$，解得x=1．
（2）设z=a+bi（a，b∈R），则$\overline{z}$=a-bi．
∵${（{z+\overline z}）^2}$$-3z\overline z•i=4-12i$（i为虚数单位），
∴4a²-3（a²+b²）i=4-12i．
∴4a²=4，-3（a²+b²）=-12．
解得a=±1，b=$±\sqrt{3}$．
∴z=±1$±\sqrt{3}$i．

点评 本题考查了纯虚数的定义、共轭复数的定义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．