Question

7．已知sin⁴θ+cos⁴θ=1，则sinθ-cosθ=±1．

Answer 1

分析 先利用同角三角函数及二倍角公式对sin⁴θ+cos⁴θ化简整理求的sin²2θ=0，进而求得θ的值，代入sinθ-cosθ讨论求得答案．

解答 解：sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=1-2sin²θcos²θ=1，
∴2sin²θcos²θ=0，
即$\frac{si{n}^{2}2θ}{2}$=0，可得：sin²2θ=0，
∴2θ=kπ，k∈Z，
∴θ=$\frac{kπ}{2}$，
∴sinθ-cosθ=$\sqrt{2}$sin（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π（2k-1）}{4}$，k∈Z，
∴sinθ-cosθ=±1，
故答案为：±1．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用．考查了学生创造思维和分析问题的能力，属于中档题．