Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，设{S_n}的前n项和为T_n，T₂₀₁₄=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{1007}}）$．

Answer 1

分析 S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，可得：S_2k-1=-a_2k-1+$\frac{1}{{2}^{2k-1}}$，S_2k=${a}_{2k}+\frac{1}{{2}^{2k}}$，S_2k+1=-a_2k+1+$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$．可得a_2k-1=$\frac{1}{{2}^{2k}}$，同理可得：a_2k=$-\frac{1}{{2}^{2k}}$．于是可得S_2k-1+S_2k．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_2k-1=-a_2k-1+$\frac{1}{{2}^{2k-1}}$，S_2k=${a}_{2k}+\frac{1}{{2}^{2k}}$，S_2k+1=-a_2k+1+$\frac{1}{{2}^{2k+1}}$．
∴a_2k=a_2k+a_2k-1-$\frac{1}{{2}^{2k}}$，
∴a_2k-1=$\frac{1}{{2}^{2k}}$，
同理可得：a_2k=$-\frac{1}{{2}^{2k}}$．
∴S_2k-1+S_2k=-$\frac{1}{{2}^{2k}}$+$\frac{1}{{2}^{2k-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2k}}$+$\frac{1}{{2}^{2k}}$=$\frac{1}{{2}^{2k}}$=$\frac{1}{{4}^{k}}$，
∴T₂₀₁₄=（T₁+T₂）+（T₃+T₄）+…+（T₂₀₁₃+T₂₀₁₄）=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{1007}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{1007}}）$．
故答案为：$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{1007}}）$．

点评 本题考查了递推关系式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．