Question

9．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井．以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：

井号I	1	2	3	4	5	6
坐标（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
钻探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的$\widehatb，\widehata$的值与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n_x^{-2}}}}，\widehata=\overline y-\widehatb\overline x，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}^2=94，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}=945}}$）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有的出油量不低于50L的井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，由回归直线必过平衡点（$\overline{x}，\overline{y}$），求出回归直线方程，由此能求出当x=1时，y的预报值．
（Ⅱ）先分别求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{b}$，$\widehat{a}$，由此能求出使用位置接近的已有旧井．
（Ⅲ）由题意知原有出油量不低于50L的井中，3，5，6这3口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，由此能求出恰有2口是优质井的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}（30+40+60+50+70）$=50，回归直线必过平衡点（$\overline{x}，\overline{y}$），
则$a=\overline{y}-b\overline{x}$=50-6.5×5=17.5，
∴回归直线方程为y=6.5x+17.5，
当x=1时，y=6.5+17.5=24，即y的预报值为24．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}$=94，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}=945$，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{945-4×4×46.25}{94-4×{4}^{2}}$≈6.83，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=46.25-6.83×4=18.93，
∴$\widehat{b}$=6.83，$\widehat{a}$=17.5，
$\frac{\widehat{b}-b}{b}$≈5%，$\frac{\widehat{a}-a}{a}$≈8%，均不超过10%，
∴使用位置接近的已有旧井6（1，24）．
（Ⅲ）由题意知原有出油量不低于50L的井中，3，5，6这3口井是优质井，
2，4这两口井是非优质井，
由题意从这口井中，随机选3口，基本事件总数n=${C}_{5}^{3}$=10，
恰有2口是优质井包含怕基本事件个数m=${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$=6，
∴恰有2口是优质井的概率P=$\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查回归直线方程的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．