Question

4．三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，三棱锥的外接球的体积记为V₁，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V₂，则$\frac{V_1}{V_2}$=（　　）

• A． $8\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 12
• D． $5\sqrt{10}$

Answer 1

分析 判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此能求出结果．

解答 解：三视图复原的几何体如图，
它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，
它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，
外接球的直径是2$\sqrt{2}$，
该几何体的外接球的体积V₁=$\frac{4}{3}$π（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π．
V₂=2×（$\frac{1}{3}$×1²×π×1）=$\frac{2}{3}$π，
∴V₁：V₂=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π：$\frac{2}{3}$π=4$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查三视图求几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．