Question

15．已知命题p：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根；命题q：方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$图象是焦点在x轴上的双曲线．又p∨q为真，?p为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p、q为真命题时m的范围，根据复合命题真值表可得命题p，q命题一真一假，求出m的范围即可．

解答 解：命题p：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，
∴△=16（m-2）²-16＜0，解得：1＜m＜3，
p为真时：1＜m＜3；
∵方程$\frac{x^2}{2m}-\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦点在x轴上的双曲线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＞0}\\{m-2＞0}\end{array}\right.$⇒m＞2
若q为真时：m＞2，
又p∨q为真，?p为真，
∴p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥3或m≤1}\\{m＞2}\end{array}\right.$，
解得：m≥3．

点评 本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．