Question

5．如图，AC⊥面BCD，BD⊥CD，设∠ABC=θ₁，∠CBD=θ₂，∠ABD=θ₃，求证：cosθ₃=cosθ₁cosθ₂．

Answer 1

分析 推导出cosθ₁=$\frac{BC}{AB}$，cosθ₂=$\frac{BD}{BC}$，cosθ₃=$\frac{BD}{AB}$，由此能证明cosθ₃=cosθ₁cosθ₂．

解答 证明：∵AC⊥面BCD，∴AC⊥BC．
又∵BD⊥CD，∴AD⊥BD．
∴△ABC，△BCD，△ABD都为直角三角形．
cosθ₁=$\frac{BC}{AB}$，cosθ₂=$\frac{BD}{BC}$，cosθ₃=$\frac{BD}{AB}$，
∴cosθ₁cosθ₂=$\frac{BC}{AB}$•$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$=cosθ₃，
∴cosθ₃=cosθ₁cosθ₂．

点评 本题考查cosθ₃=cosθ₁cosθ₂的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．