Question

15．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）．
（1）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，且cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由α的范围和余弦值可知α=$\frac{π}{4}$，代入解析式计算即可；
（2）根据余弦函数的单调性列出不等式-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ解出．

解答 解；（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，且cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴α=$\frac{π}{4}$．
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{1}{2}$．
（2）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，解得-$\frac{5π}{8}$+kπ≤x≤$-\frac{π}{8}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是[-$\frac{5π}{8}$+kπ，$-\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，属于基础题．