Question

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$+tan$\frac{C}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2$\sqrt{3}$，sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函数基本关系式即可得出；
（II）利用和差公式可得：sinBcosA=2sinAcosA，对A分类讨论，利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{1}{tan\frac{C}{2}}$+tan$\frac{C}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$+$\frac{sin\frac{C}{2}}{cos\frac{C}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{1}{sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$或C=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由题意得sinC+sin（B-A）=2sin2A，
∴sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，
∴2sinBcosA=2×2sinAcosA，
当cosA=0时，A=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$．
由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}×sin\frac{π}{6}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，
由题意，C=$\frac{π}{3}$，c=2$\sqrt{3}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=3a²=12，
解得a=2，b=4，
∴$B=\frac{π}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、和差公式、分类讨论、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．