Question

18．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设lgb_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$（n∈N^*），问：b₁，b_k，b_m（k，m均为正整数，且1＜k＜m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义与通项公式、前n项和公式，结合题意求出通项a_n；
（2）假设存在正整数组k和m，使b₁、b_k，b_m成等比数列，得出lgb₁，lgb_klg，b_m成等差数列，由此求出满足条件的正整数k和m的值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
因为a₁=1，所以a₂=1+d，a₃=1+2d，从而S₂=2+d，
S₃=3+3d，因为数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列，
所以2×$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$，即$\frac{2（2+d）}{1+d}$=1+$\frac{3+3d}{1+2d}$，
化简得d²-d=0，而d≠0，所以d=1；
故a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）假设存在正整数组k和m，使b₁、b_k、b_m成等比数列，
则lgb₁，lgb_k，lgb_m成等差数列，
于是$\frac{2k}{{3}^{k}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{m}{{3}^{m}}$，
所以m=3^m（$\frac{2k}{{3}^{k}}$-$\frac{1}{3}$）…（*）；
易知k=2，m=3满足（*）；
因为k≥3，且k∈N^*时，$\frac{2（k+1）}{{3}^{k+1}}$-$\frac{2k}{{3}^{k}}$=$\frac{2-4k}{{3}^{k+1}}$＜0；
数列{$\frac{2k}{{3}^{k}}$}（k≥3，k∈N）为递减数列，
于是$\frac{2k}{{3}^{k}}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{2×3}{{3}^{3}}$-$\frac{1}{3}$＜0，
所以，当k≥3时，不存在正整数k和m满足（*）；
综上，当且仅当k=2，m=3时，b₁，b_k，b_m成等比数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，是综合性题目．