Question

8．（1）椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，焦点是（-3，0），（3，0），求该椭圆方程；
（2）双曲线焦点在x轴上，c=6，且过点A（-5，2），求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，焦点是（-3，0），（3，0），求出a，c，可得b，即可求该椭圆方程；
（2）设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，由此能求出双曲线的标准方程．其离心率．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，焦点是（-3，0），（3，0），
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=3，
∴a=6，
∴b²=27，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1；
（2）由题意，设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=20，b²=16，
∴所求的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，

点评 本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于中档题．