Question

5．下列四个关于圆锥曲线的命题：
①已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；
②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；
③双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦点；
④关于x的方程x²-mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
其中正确的命题是②④．（填上你认为正确的所有命题序号）

Answer 1

分析 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3＜4，则动点P的轨迹不存在，故不正确；
②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长，正确；
③双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的焦点是（±5，0），椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点是（±$\sqrt{7}$，0），故不正确；
④关于x的方程x²-mx+1=0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；
故答案为：②④．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，是中档题．