Question

2．求下列数列的通项公式．
（1）已知{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=a_n+n，求数列{a_n}的一个通项公式（已知1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$）；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，求数列{a_n}的一个通项公式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-a_n-1=n-1，两边累加法得到a_n-a₁=$\frac{n（n-1）}{2}$，即可求出数列{an}的一个通项公式，
（2）由题意可得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{5}{3}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{6}{4}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，两边累乘得到a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

解答 解：（1）a₁=0，a_n+1=a_n+n，即a_n+1-a_n=n，
∴a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-a_n-1=n-1，
累加得到，a₂-a₁+a₃-a₂+a₄-a₃+…+a_n-a_n-1=1+2+3+…+n-1+n-n=$\frac{n（n+1）}{2}$-n=$\frac{n（n-1）}{2}$
∴a_n-a₁=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$，
（2）∵{a_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{5}{3}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{6}{4}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
累乘得到，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{1}$×$\frac{4}{2}$×$\frac{5}{3}$×$\frac{6}{4}$×…×$\frac{n}{n-2}$×$\frac{n+1}{n-1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题