Question

11．数列{a_n}中，a₁=1且a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1（n∈N⁺），a_n=1004，则n=2008．

Answer 1

分析 在已知数列递推式中取n=n-1，得另一递推式，作差后可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}从第二项其为常数列．求其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式，则答案可求．

解答 解：由a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1，得
a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}{a}_{n-1}={a}_{n}$（n≥2），
两式作差得：$\frac{1}{n}{a}_{n}={a}_{n+1}-{a}_{n}$（n≥2），
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$（n≥2），
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}从第二项其为常数列．
由a₁=1且a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1，得a₂=a₁=1，
∴$\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{1}{2}$，
则$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{1}{2}$，${a}_{n}=\frac{n}{2}$，
由a_n=1004，得$\frac{n}{2}=1004$，
∴n=2008．
故答案为：2008．

点评 本题考查数列递推式，考查了作差法求数列的通项公式，训练了等差关系的确定，是中档题．