已知函数$f(x)=cos2x+\sqrt{3}sin2x$.在下列四个命题中:①函数的表达式可以改写为$f(x)=2cos$,②当$x=kπ+\frac{π}{6}$时.函数取得最大值为2,③若x1≠x2.且f(x1)=f(x2)=0.则${x 1}-{x 2}=\frac{kπ}{2}$,④函数f(x)的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称,其中正确命题的序号是①②③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．已知函数$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x$，在下列四个命题中：
①函数的表达式可以改写为$f（x）=2cos（2x-\frac{π}{3}）$；
②当$x=kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）时，函数取得最大值为2；
③若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=0，则${x_1}-{x_2}=\frac{kπ}{2}（k∈Z且k≠0）$；
④函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称；
其中正确命题的序号是①②③④（把你认为正确命题的序号都填上）．

分析由条件利用辅助角公式，余弦函数的图象和性质，得出结论．

解答解：∵函数$f（x）=cos2x+\sqrt{3}sin2x$=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
故①正确；
∵当$x=kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值为2，故②正确；
若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁和x₂为函数f（x）的零点，x₁和x₂相差半个周期的整数倍，
即${x_1}-{x_2}=\frac{kπ}{2}（k∈Z且k≠0）$，故③正确；
当x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）=2cosπ=-2，为函数的最小值，故函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称，
故④正确，
故答案为：①②③④．

点评本题主要考查辅助角公式，余弦函数的图象和性质，属于中档题．

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17．