Question

【题目】已知，椭圆：的离心率为，直线与交于，两点，长度的最大值为4.

（1）求的方程；

（2）直线与轴的交点为，当直线变化（不与轴重合）时，若，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由椭圆中弦长最长的位置在长轴位置可得的值,再由离心率并结合求得的值，从而求得椭圆的标准方程;

(2)如图所示:

由题中关系式利用平面几何知识结合正弦定理可得:∠MPA=∠MPB,进而可得kPA=-kPB,设A点坐标,B点坐标,M点坐标(,0)和直线l的方程,和椭圆方程联立化简得,然后利用根的判别式、韦达定理和斜率公式综合运算可得的值.

（1）由题意弦长AB长度的最大值为4,可得2a=4即得a=2,由离心率,

且联立解得=4, =3,所以椭圆的方程为.

（2）设，，的方程为，代入椭圆方程并整理得

，

由，

解得，

，.

因为即，由角平分定理或正弦定理，即可得到

，即，所以，即，

又，所以，

即，

所以，因为为变量，所以，

所以点的坐标为.