Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中.以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知曲线与交于， 两点，记点， 相应的参数分别为， ，当时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）4

【解析】试题分析：（1）曲线的参数方程为利用平方法消去参数可得出曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）由题知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中点，由垂径定理可得的值.

试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数），

所以： 的普通方程： ，其中；

曲线的极坐标方程为，

所以： 的直角坐标方程： .

（2）由题知直线恒过定点，又，

由参数方程的几何意义知是线段的中点，

曲线是以为圆心，半径的圆，

且.

由垂径定理知： .