【题目】已知椭圆C: 的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点.
① 求证:直线MN的斜率为定值;
② 求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点).
【答案】(1)(2)① ②
【解析】试题分析:(1)先求双曲线离心率得椭圆离心率,再将点坐标代入椭圆方程,解方程组得,(2)①先根据点斜式得直线方程,再与椭圆方程联立解得坐标,根据直线与圆相切,得斜率相反,同理可得最后根据斜率公式求斜率,②设直线MN方程,根据原点到直线距离得高,与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长,最后代入三角形面积公式,利用基本不等式求最值.
试题解析:(1)可得,设椭圆的半焦距为,所以,
因为C过点,所以,又,解得,
所以椭圆方程为.
(2)① 显然两直线的斜率存在,设为, ,
由于直线与圆相切,则有,
直线的方程为, 联立方程组
消去,得,
因为为直线与椭圆的交点,所以,
同理,当与椭圆相交时, ,
所以,而,
所以直线的斜率.
② 设直线的方程为,联立方程组消去得,
所以,
原点到直线的距离,
面积为,
当且仅当时取得等号.经检验,存在(),使得过点的两条直线与圆相切,且与椭圆有两个交点M,N.
所以面积的最大值为.
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【题目】已知函数的部分图象如图所示.
(1) 求函数的解析式;
(2) 如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象, 写出变换过程;
(3) 若,求的值.
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【题目】牡丹江一中2019年将实行新课程改革,即除语、数、外三科为必考科目外,还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业,按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,上午第四节和下午第一节不算相邻),现该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻,则该生该天课表有( )种.
A. 444B. 1776C. 1440D. 1560
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),其中.以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知曲线与交于, 两点,记点, 相应的参数分别为, ,当时,求的值.
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【题目】某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱50瓶,批发成本85元;小箱每箱30瓶,批发成本65元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶).
(1)设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量X,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量Y,求X和Y的分布列;
(2)从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?(必须作出一种合理的选择)
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【题目】已知函数f(x)的图像可以由y=cos2x的图像先纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍,再横坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍,最后向右平移个单位而得到.
⑴求f(x)的解析式与最小正周期;
⑵求f(x)在x∈(0,π)上的值域与单调性.
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【题目】某公司生产一种产品,第一年投入资金1000万元,出售产品收入40万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多80万元,同时,当预计投入的资金低于20万元时,就按20万元投入,且当年出售产品收入与上一年相等.
(1)求第年的预计投入资金与出售产品的收入;
(2)预计从哪一年起该公司开始盈利?(注:盈利是指总收入大于总投入)
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