Question

【题目】已知数列满足， .

(1)求证： ；

(2)求证： ；

(3)求证： .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析： 用数学归纳法证明，当时成立，假设成立下证时也成立当时成立，由(1)结果得 ，下证也成立由(2)结果得计算得出结果

解析：(1)用数学归纳法证明.

①当n＝1时，命题显然成立；

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，有≤ak≤1成立，

则当n＝k＋1时，ak＋1＝，

ak＋1＝，

即当n＝k＋1时也成立，

所以对任意n∈N*，都有≤an≤1.

(2)当n＝1时，|a2－a1|＝，

当n≥2时，∵ ＝·＝1＋≥1＋＝，

∴|an＋1－an|＝

＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|

＝.

综上所述，|an＋1－an|≤.

(3)当n＝1时，|a2－a1|＝＝；

当n≥2时，由(2)知

|a2n－an|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an|≤

＝，综上所述，|a2n－an|≤.