Question

设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-5=0，x∈R}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围；
（3）若U=R，A∩C_UB=A，求实数a的取值范围；
（4）若B∩R₊=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：（1）根据A与B的交集得到x=2为B中方程的解，将x=2代入计算即可求出a的值；
（2）根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，即可确定出a的范围；
（3）根据题意得到A与B交集为空集，即可确定出a的范围；
（4）根据题意得到B为空集，或B中方程根为负值，分别求出a的范围即可．

解答： 解：（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中方程
得a²+4a+3=0，所以a=-1或a=-3，
当a=-1时，B={-2，2}，满足条件；
当a=-3时，B={2}，也满足条件
综上得a的值为-1或-3；
（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，
①当△=4（a+1）²-4（a²-5）=8（a+3）＜0，即a＜-3时，B=∅满足条件
②当△=0即a=-3时，B={2}，满足要求；
③当△＞0，即a＞-3时，B=A={1，2}才能满足要求，不可能
故a的取值范围是a≤-3．
（3）∵A∩（C_UB）=A，
∴A⊆（C_UB），
∴A∩B=∅，
①当△＜0，即a＜-3时，B=∅，满足条件；
②当△=0即a=-3时，B={2}，A∩B={2}，不适合条件；
③当△＞0，即a＞-3时，此时只需1∉B且2∉B，
将2代入B的方程得a=-1或a=-3
将1代入B的方程得a=-1±

3

，
∴a≠-1，a≠-3，a≠-1±

3

，
综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-

3

或-1-

3

＜a＜-1或或-1＜a＜-1+

3

或a＞-1+

3

；（4）∵B∩R₊=∅，
∴B=∅或B中方程解为负值，
当B=∅时，B中方程无解，即△=4（a+1）²-4（a²-5）＜0，即8a＜-24，
解得：a＜-3；
当B中方程解为负值时，x₁+x₂=-（a+1）＜0，x₁x₂=a²-5＞0，
解得：a＞

5

，
综上，a的范围为{a|a＜-3或a＞

5

}．

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．