Question

已知f（x）=

kx+1，x∈[-1，1] 2x2+kx-1，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)

．
（1）若k=2，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个不同的零点，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下证明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过k=2，利用分段函数求出方程的根，即可得到函数f（x）的零点；
（2）判断函数f（x）在（0，2）上有两个不同的零点所在区间，利用跟与系数的关系，列出不等式组即可求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，不妨设0＜x₁＜1＜x₂＜2，通过1-x₁²=-x₁²-kx₁；x₂²-1=-x₂²-kx₂．逐步化简证明

1

x1

+

1

x2

=2x²＜4．．

解答： 解：（1）k=2，求函数f（x）=

2x+1，x∈[-1，1] 2x2+2x-1，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)

，
令2x+1=0可得x=-

1

2

，
2x²+2x-1=0可得x=

-1± 3

2

，x=

-1+ 3

2

∉（1，+∞）故舍去．
函数的零点是：-

1

2

，

-1- 3

2

．
（2）∵f（x）=

kx+1，x∈(0，1] 2x2+kx-1，x∈(1，2)

．①函数在（0，1]，（1，2）个一个零点，由于f（0）=1＞0
∴

f(1)＜0 f(2)＞0

⇒-

7

2

＜k＜-1；
②两个零点都在（1，2）时，显然不符合跟与系数的关系，x₁x₂=-

1

2

＜0，
综上k的取值范围：（-

7

2

，-1）．
（3）【证明】
不妨设0＜x₁＜1＜x₂＜2
有1-x₁²=-x₁²-kx₁；x₂²-1=-x₂²-kx₂．
∴k=-

1

x1

；2x₂²+kx₂-1=0
将k代入得2x₂²-

x2

x1

-1=0
即2x²-

1

x1

-

1

x2

=0

1

x1

+

1

x2

=2x²＜4．

点评：本题考查函数与方程的关系的应用，函数的零点以及不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力．