Question

已知数列{a_n}满足a₁=30，a_n+1=a_n+2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求

an

n

的最小值及取最小值时n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=30+2+4+6+…+2（n-1），由此能求出结果．
（2）由（1）得

an

n

=

n2-n+30

n

=n+

30

n

-1，由此利用均值定理能求出结果．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=30，a_n+1=a_n+2n．
∴a_n-a_n-1=2（n-1），
a_n-1-a_n-2=2（n-2），
a_n-2-a_n-3=2（n-3），
…
a₃-a₂=4，
a₂-a₁=2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=30+2+4+6+…+2（n-1）
=30+

(n-1)(2+2n-2)

2

=n²-n+30．
（2）由（1）得

an

n

=

n2-n+30

n

=n+

30

n

-1≥2

n× 30 n

-1=2

30

-2，
当且仅当n≈

30

n

，即n=5或n=6时，

an

n

的最小值为10，此时n=5或6．

点评：本题考查数列的通项公式和通项公式与项数n的比值的最小值的求法，是基础题，解题时要注意累加法的合理运用．