Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2．
（1）求证：A₁C₁∥面ABCD；
（2）求AC₁与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：

分析：（1）连接AC，则四边形ACC₁A₁是平行四边形，可得A₁C₁∥AC，利用线面平行的判定定理，即可证明A₁C₁∥面ABCD；
（2）根据长方体的性质，可得AC是AC₁在底面ABCD的射影，∠C₁AC为对角线AC₁与底面ABCD所成角，在Rt△C₁AC中求解．

解答： （1）证明：连接AC，则四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC，
∵A₁C₁?面ABCD，AC?面ABCD，
∴A₁C₁∥面ABCD；
（2）根据长方体的性质，可得AC是AC₁在底面ABCD的射影，∠C₁AC为对角线AC₁与底面ABCD所成角．
∵AB=AD=1，AA₁=2，
∴AC=

2

，CC₁=2，
在Rt△C₁AC中，tan∠C₁AC=

2

2

=

2

．

点评：本题主要考查线面平行、线面角及其求法．解决线面角要把线面角找出来或做出来，空间角转化为平面角，考查空间想象能力，计算能力．