Question

若a＜0时，f（x）=sinx-

2

ae^x在（0，+∞）有且仅有一个零点，则a的值是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：由题意知，在（0，+∞）上 

2

a=

sinx

ex

只有一根，由a＜0，知只需求出x＞0时g（x）=

sinx

ex

的最小值，利用导数可求得g（x）的最小值．

解答： 解：由题意知，f（x）=0在（0，+∞）上只有一个根，即

2

a=

sinx

ex

只有一根，
因为a＜0，所以只需求出x＞0时g（x）=

sinx

ex

的最小值，
g′（x）=-

exsinx-excosx

e2x

=-

2

•

sin(x- π 4 )

ex

，
令g′（x）=0可得x=kπ+

π

4

，k∈N，
易知当x=

π

4

，

9

4

π，…时g（x）=

sinx

ex

取极大值，当x=

5

4

π，

13

4

π，…时取极小值，
又g（

5

4

π）＜g（

13

4

π）＜…，
所以g（x）_min=g（

5

4

π）=

sin 5π 4

e 5π 4

=-

2 2

e 5π 4

，
则

2

a=-

2 2

e 5π 4

，解得a=-

1

2e 5π 4

，
故答案为：-

1

2e 5π 4

．

点评：本题考查函数的零点、导数求函数的最值，考查转化思想、函数思想，思维含量较高．