Question

已知函数f（x）=ax³+

b

x²-a²x（a＞0），存在实数x₁，x₂满足下列条件：①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0；③|x₁|+|x₂|=2．
（1）证明：0＜a≤3；
（2）求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f′（x）=3ax²+2

b

x-a²，再根据方程f′（x）=0有解，利用判别式大于或等于零，求得a的范围．
（2）由 b=3a²（3-a）=-3a³+9a²，可得 b′=-9a²+18a，令b′=0，求得 a=0，或a=2．再根据在（0，2]上，b′＞0，函数b是增函数，求得b的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax³+

b

x²-a²x，∴f′（x）=3ax²+2

b

x-a²，
∵满足①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0，
∴x1+x2=-

2 b

3a

，x1x2=-

a

3

，由a＞0，得x1＜0＜x2．
∵|x₁|+|x₂|=2，∴x₂-x₁=2．
∴x1和x2是方程t2-2t+

a

3

=0的两个实根，∵方程有解，
∴△=4-

4a

3

≥0，得0＜a≤3，即a的范围为（0，3]．
（2）由 b=3a²（3-a）=-3a³+9a²，
∴b′=-9a²+18a，令b′=0，求得 a=0，或 a=2，
∴0＜a≤2时，b′≥0，b在(0，2]上单调递增；故有 0≤b≤12．

点评：本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．