Question

已知△ABC中，点G满足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，

GA

•

GB

=0，则

1

tanB

+

1

tanA

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：首先，根据

GA

+

GB

+

GC

=

0

得G是重心，然后，再取BC中点为D，AC中点为E，引入变量GE=n，GD=m，从而表示出tanB=

3mn

2n2-m2

，tanA=

3mn

2m2-n2

，最后，利用基本不等式求解其最小值即可．

解答： 解：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

得点G是重心，
设BC中点为D，AC中点为E，
设GE=n，GD=m，则BG=2n，AG=2m．
∴tanB=

3mn

2n2-m2

，tanA=

3mn

2m2-n2

，
∴

1

tanB

+

1

tanA

=

m2+n2

3mn

≥

2nm

3nm

=

2

3

，
∴则

1

tanB

+

1

tanA

的最小值为

2

3

．

点评：本题重点考查了平面向量的基本运算，正切函数的定义、基本不等式等知识，解题关键是灵活引入变量，从而利用引入的变量表示待求的量，本题需要注意的问题是：基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等．属于中档题．