Question

已知α、β是方程x²+ax+2b=0的两根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a、b∈R，求2a+3b的最大值和最小值．

Answer 1

考点：不等关系与不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：令f（x）=x²+ax+2b，由于α、β是方程x²+ax+2b=0的两根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a、b∈R，可得

f(0)=2b≥0 f(1)=1+a+2b≤0 f(2)=4+2a+2b≥0

，画出可行域，设目标函数l：2a+3b=m，则b=-

2

3

a+

m

3

．利用斜率的意义即可得出最值．

解答： 解：令f（x）=x²+ax+2b，
∵α、β是方程x²+ax+2b=0的两根，
且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a、b∈R，
∴

f(0)=2b≥0 f(1)=1+a+2b≤0 f(2)=4+2a+2b≥0

画出可行域：
可得A（-1，0），B（-2，0）．
设目标函数l：2a+3b=m，则b=-

2

3

a+

m

3

．
由斜率的意义可知：当直线l经过点A（-1，0）时，m取得最大值，m=-2．
当直线l经过点B（-2，0）时，m取得最小值，m=-4．
∴2a+3b的最大值为-2，最小值为-4．

点评：本题综合考查了一元二次方程、线性规划的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．