Question

已知α，β∈（0，

π

2

），sinα=

4

5

，tan（α-β）=-

1

3

，求cosβ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα 的值，再由tan（α-β）=-

1

3

=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

，求得tanβ的值，可得cosβ的值．

解答： 解：∵α，β∈（0，

π

2

），sinα=

4

5

，∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，∴tanα=

sinα

cosα

=

4

3

．
又 tan（α-β）=-

1

3

=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

4 3 -tanβ

1+ 4 3 tanβ

，解得tanβ=3．
再根据 sin²β+cos²β=1，

sinβ

cosβ

=3，求得cosβ=

10

10

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．