Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=a，E和F分别是A₁B₁和C₁D₁的中点，求：
（1）找出与AB₁异面的所有棱；
（2）AC和B₁C₁所成角的余弦值；
（3）EB和FD所成角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）结合和异面直线的定义求解．
（2）由B₁C₁∥BC，知AC和B₁C₁所成角为∠ACB，由此能求出结果．
（2）由BE∥CF，知∠DFC是EB和FD所成角或所成角的补角，由此能求出EB和FD所成角．

解答： 解：（1）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
与AB₁异面的所有棱有6条，分别为：
A₁D₁，BC，CC₁，DD₁，DC，D₁C₁．
（2）∵B₁C₁∥BC，∴AC和B₁C₁所成角为∠ACB，
∵AB=BC=2a，∠ABC=90°，
∴cos∠ACB=cos45°=

2

2

．
（2）∵E和F分别是A₁B₁和C₁D₁的中点，
连结EF，CF，则EF

∥

.

BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴BE∥CF，∴∠DFC是EB和FD所成角或所成角的补角．
∵AB=BC=2a，AA₁=a，
∴DF=CF=

2

a，
∴DF²+CF²=DC²，∴∠DFC=90°，
∴EB和FD所成角为90°．

点评：本题考查异面直线的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．