Question

设直线nx+（n+1）y=

2

（n∈N^*）与两坐标轴围成的三角形的面积为S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₃的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,规律型

分析：分别求出直线nx+（n+1）y=

2

（n∈N^*）与两坐标轴的交点，即（

2

n

，0），（0，

2

n+1

），则S_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后分别代入1，2，…，2013，最后求和即可．

解答： 解：分别令x=0和y=0，得到直线nx+（n+1）y=

2

（n∈N^*）与两坐标轴的交点：
（

2

n

，0），（0，

2

n+1

），
则S_n=

1

2

•

2

n

•

2

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
然后分别代入1，2，…，2013，
则有S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₃=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

．
故答案为：

2013

2014

．

点评：本题主要考查数列的求和方法：裂项相消法．要求会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；熟悉三角形的面积公式；记住：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为自然数）是解题的关键．