Question

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，3），对称轴为x=2，且方程f（x）=0的两实根平方和为10．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=

1+x 1-x

+lgf（x）的定义域为M，求M；
（Ⅲ）求h（x）=m×2^x+2+3×4^x（m＞-3）在x∈M时的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）把点（0，3）代入函数解析式求得c=3；再根据对称轴为x=2，可得-

b

2a

=2；设方程的2个根分别为m、n，则由韦达定理以及m²+n²=16-

6

a

=10，求得a和b的值，从而求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由函数g（x）的解析式可得

1+x 1-x ≥0 x2-4x+3＞0

，求得x的范围，可得函数的定义域M．
（Ⅲ）由h（x）=3×(2x+

2m

3

)2-

4m2

3

，结合x∈[-1，1），令t=2^2x，则t∈[

1

2

，2），令h（x）=g（t）=3•(t+

2m

3

)2-

4m2

3

，函数g（t）的对称轴为t=-

2m

3

，分类讨论对称轴与t的范围的关系，求得g（t）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）把点（0，3）代入函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），可得c=3．
再根据对称轴为x=2，可得-

b

2a

=2．
设方程的2个根分别为m、n，则由韦达定理可得 m+n=-

b

a

=4，mn=

3

a

，
再由m²+n²=（m+n）²-2mn=16-

6

a

=10，求得a=1，∴b=-4，
∴f（x）=x²-4x+3．
（Ⅱ）∵函数g（x）=

1+x 1-x

+lgf（x），∴

1+x 1-x ≥0 x2-4x+3＞0

，即

x+1 x-1 ≤0 x＜1，或 x＞3

．
解得-1≤x＜1，故函数的定义域M=[-1，1）．
（Ⅲ）∵h（x）=m×2^x+2+3×4^x =3×2^2x+4m×2^x=3×(2x+

2m

3

)2-

4m2

3

，
∵x∈[-1，1），∴2^x∈[

1

2

，2）．
令t=2^2x，则t∈[

1

2

，2），h（x）=g（t）=3•(t+

2m

3

)2-

4m2

3

，函数g（t）的对称轴为t=-

2m

3

．
根据 m＞-3，可得

2m

3

＞-2，-

2m

3

＜2；令-

2m

3

=

1

2

，求得m=-

3

4

．
当-3＜m≤-

3

4

 时，则

1

2

≤-

2m

3

＜2，g（t）在[

1

2

，2）上，
只有当t=-

2m

3

时，函数g（t）取得最小值为-

4m2

3

．
当m＞-

3

4

时，-

2m

3

＜

1

2

，g（t）在[

1

2

，2）上是增函数，故当t=

1

2

时，函数g（t）取得最小值为2m+

3

4

．

点评：本题主要考查二次函数的性质，求函数的解析式和定义域，体现了转化、分类讨论的数学额思想，属于中档题．