Question

如图，在四棱锥V-ABCD中，VA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形．
（1）求证：BD⊥VC；
（2）若VA=4，且E为VD中点，求异面直线AE与VC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC，则AC⊥BD，证明VA⊥BD，可得BD⊥平面VAC，即可证明BD⊥VC；
（2）建立坐标系，求出

AE

=（1，2，0），

VC

=（2，2，-4），利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答： （1）证明：连接AC，则AC⊥BD，
∵VA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴VA⊥BD，
∵VA∩AC=A，
∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥VC；
（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），E（1，2，0），V（0，0，4），C（2，2，0），
∴

AE

=（1，2，0），

VC

=（2，2，-4），
设异面直线AE与VC所成角为α，则cosα=|

2+4+0

5 • 24

|=

6

120

，
∴sinα=

70

10

．

点评：本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，正确建立坐标系，利用向量的．夹角公式是关键