Question

直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1的左支交于点A，与右支交于点B．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求k的取值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1，得（3-k²）x²-2kx-2=0，利用A，B在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；
（2）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．

解答： 解：（1）由直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
因为A．B在双曲线的左右两支上，所以3-k²≠0，

-2

3-k2

＜0，
解得-

3

＜k＜

3

；
（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）•

-2

3-k2

+k•

2k

3-k2

=0，
整理得k²=1，符合条件，
∴k=±1．

点评：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．