Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，已知sinC+cosC=1-sin

C

2

，
（1）求sinC的值；
（2）若△ABC外接圆面积为（4+

7

）π，试求

AC

•

BC

的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量的综合题,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）sinC+cosC=1-sin

C

2

⇒2sin

C

2

cos

C

2

=2sin2

C

2

-sin

C

2

⇒sin

C

2

-cos

C

2

=

1

2

 （*），将（*）式两边同时平方即可求得sinC的值；
（2）由（1）知sinC=

3

4

，易求cosC=-

7

4

，依题意，利用正弦定理与余弦定理及基本不等式可求得0＜ab＜9，于是可求得

AC

•

BC

=abcosC的范围．

解答： 解：（1）由sinC+cosC=1-sin

C

2

得，2sin

C

2

cos

C

2

=2sin2

C

2

-sin

C

2

…2分
∵sin

C

2

＞0，∴sin

C

2

-cos

C

2

=

1

2

 （*）…4分
将（*）式两边同时平方得，1-sinC=

1

4

⇒sinC=

3

4

…7分
（2）由（*）式知，sin

C

2

＞cos

C

2

，从而

C

2

＞

π

4

，从而C为钝角，
∴cosC=-

7

4

．…9分
根据正弦定理，c=2RsinC，从而c²=4R²sin²C=

9

4

（4+

7

）…11分
根据余弦定理，又c²=

9

4

（4+

7

）=a²+b²-2ab•（-

7

4

）≥2ab（1+

7

4

），
∴0＜ab≤

9

2

，
因此，

AC

•

BC

=abcosC∈[-

9 7

8

，0），即

AC

•

BC

范围为∈[-

9 7

8

，0）．…14分．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理及基本不等式及平面向量的数量积的综合应用，属于中档题．