Question

求证：当a，b，c，d＞0．
（1）

a+b+c

3

≥

3	abc

；
（2）

a+b+c+d

4

≥

4	abcd

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由a，b，c＞0．可得a³+b³+c³-3abc=（a+b）³+c³-（3abc+3a²b+3ab²）=（a+b+c）（a²+b²+c²+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc），再通过配方即可证明a³+b³+c³≥3abc，进而得到

a+b+c

3

≥

3	abc

，当且仅当a=b=c时取等号．
（2）由a，b，c，d＞0，利用基本不等式可得a+b≥2

ab

，c+d≥2

cd

．再一次利用基本不等式即可证明．

解答： 证明：（1）∵a，b，c＞0．
∴a³+b³+c³-3abc=（a+b）³+c³-（3abc+3a²b+3ab²）=（a+b+c）（a²+b²+c²+2ab-ac-bc）-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
=

1

2

(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0．
∴a³+b³+c³≥3abc，
∴

a+b+c

3

≥

3	abc

，当且仅当a=b=c时取等号．
（2）∵a，b，c，d＞0，∴a+b≥2

ab

，c+d≥2

cd

．
∴a+b+c+d≥2

ab

+2

cd

≥4

ab • cd

=4

4	abcd

，当且仅当a=b=c=d时取等号．
∴

a+b+c+d

4

≥

4	abcd

．

点评：本题考查了均值不等式的证明方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．