Question

已知三点A，B，C的坐标分别为A（1，0），B（0，-1），C（cosa，sina），其中a∈（0，π）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角a的值．
（2）若

AC

•

BC

=

2

3

，求

2sin2a+sin2a

1+tana

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：平面向量及应用

分析：（1）

AC

=(cosα-1，sinα)，

BC

=(cosα，sinα+1)，由|

AC

|=|

BC

|，推导出sinα=cosα，由此能求出α=

π

4

．
（2）由

AC

•

BC

=

2

3

，推导出cosα-sinα=

1

3

，从而得到2sinαcosα=

8

9

，再由

2sin2a+sin2a

1+tana

=

2sinα(sinα+cosα)

cosα+sinα cosα

，能求出结果．

解答： 解：（1）∵A（1，0），B（0，-1），C（cosa，sina），a∈（0，π）．
∴

AC

=(cosα-1，sinα)，

BC

=(cosα，sinα+1)，
∵|

AC

|=|

BC

|，
∴（cosα-1）²+sin²α=cos²α+（sinα+1）²，
整理，得sinα=cosα，
∵a∈（0，π），∴α=

π

4

．
（2）∵

AC

•

BC

=

2

3

，
∴cosα•（cosα-1）+sinα•（sinα+1）
=cos²α-cosα+sin²α+sinα
=1-cosα+sinα=

2

3

，
∴cosα-sinα=

1

3

，
∴1-2sinαcosα=

1

9

，∴2sinαcosα=

8

9

，
∴

2sin2a+sin2a

1+tana

=

2sinα(sinα+cosα)

cosα+sinα cosα

=2sinαcosα=

8

9

．

点评：本题考查角的大小的求法，考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量知识的灵活运用．