Question

已知平面上三个向量

a

，

b

，

c

的模长均为1，它们相互之间的夹角为120°，当k∈[0，3]，则f（x）=|k

a

+

b

+

c

|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由已知条件推导出

a

•

b

=

b

•

c

=

a

•

c

=cos120°=-

1

2

，从而得到f（x）=|k

a

+

b

+

c

|=

(k a + b + c )2

=

k2-2k

=

(k-1)2-1

，由此能求出f（x）=|k

a

+

b

+

c

|的取值范围．

解答： 解：平面上三个向量

a

，

b

，

c

的模长均为1，它们相互之间的夹角为120°，
∴

a

•

b

=

b

•

c

=

a

•

c

=cos120°=-

1

2

，
∴f（x）=|k

a

+

b

+

c

|=

(k a + b + c )2

=

k2+1+1-k-k-2

=

k2-2k

=

(k-1)2-1

，
∵k∈[0，3]，
∴k=0时，f（x）_min=0，k=3时，f(x)max=

3

．
∴f（x）=|k

a

+

b

+

c

|的取值范围是[0，

3

]．
故答案为：[0，

3

]．

点评：本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．