Question

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，且θ∈[0，

π

2

]，则θ的值为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由偶函数的定义可得，f（x）=f（-x），可取x=

π

2

，代入函数式，应用诱导公式和同角三角函数的关系式，化简即得，注意θ的范围．

解答： 解：∵f（x）是偶函数
∴f（x）=f（-x）
∴f（

π

2

）=f（-

π

2

）
即sin（

π

2

+θ）+cos（

π

2

+θ）=sin（-

π

2

+θ）+cos（-

π

2

+θ）
∴cosθ-sinθ=-cosθ+sinθ
∴cosθ-sinθ=0
∴tanθ=1，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴θ=

π

4

．
故答案为：

π

4

．

点评：本题考查函数的奇偶性及应用，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题．